Dixon–Coles-modellen – därför justeras vanlig Poisson i fotboll

Dixon–Coles-modellen är en vidareutveckling av en vanlig Poissonmodell för fotboll. Grundproblemet den försöker hantera är att två helt oberoende Poissonprocesser inte alltid beskriver låga fotbollsresultat särskilt väl, framför allt 0–0, 1–0, 0–1 och 1–1.

Modellen används därför för att justera vissa låga resultat och kan dessutom kombineras med tidsviktning så att nyare matcher får större betydelse än äldre.

Varför räcker inte alltid vanlig Poisson?

En enkel Poissonmodell antar i praktiken att hemmalagets och bortalagets målproduktion kan modelleras som två oberoende processer.

Fotboll fungerar inte riktigt så.

Om ett lag gör 1–0 kan matchbilden förändras:

• laget i ledning försvarar lägre,
• motståndaren tar större risker,
• tempot förändras,
• chanserna blir annorlunda för båda lagen.

Det skapar beroenden mellan målprocesserna.

Problemet med låga resultat

Fotboll har relativt få mål jämfört med många andra sporter.

Det gör resultat som:

• 0–0,
• 1–0,
• 0–1,
• 1–1

extra viktiga i sannolikhetsfördelningen.

Dixon–Coles introducerar en särskild korrektion för just dessa resultat i stället för att behandla alla celler i resultatmatrisen identiskt.

Grundmodellen finns kvar

Dixon–Coles ersätter inte hela Poissonidén.

Man börjar fortfarande med att uppskatta lagens förväntade målproduktion, ofta genom:

• offensiv styrka,
• defensiv styrka,
• hemmafördel,
• ligans målmiljö.

Dessa parametrar används för att skapa förväntade mål för hemma- och bortalaget.

Offensiv och defensiv styrka

Varje lag kan ges en offensiv parameter och en defensiv parameter.

Ett starkt anfall får högre offensiv styrka. Ett starkt försvar gör att motståndarens förväntade mål pressas ned.

Hemmalagets målförväntan kan därför bero på:

• hemmalagets attackstyrka,
• bortalagets försvarsstyrka,
• en generell hemmaeffekt.

Bortalagets målförväntan byggs på motsvarande sätt.

Hemmafördel

Fotbollslag presterar historiskt olika hemma och borta.

Dixon–Coles-modeller inkluderar därför normalt en separat parameter för hemmafördel.

Det betyder att samma två lag kan få olika målförväntningar beroende på vem som spelar hemma.

Korrelation för låga resultat

Det som särskiljer Dixon–Coles är en korrelationsfaktor som justerar sannolikheten för vissa låga slutresultat.

Förenklat försöker modellen säga:

'Poisson ger en bra bas, men vi vet att 0–0, 1–0, 0–1 och 1–1 inte uppför sig helt som två oberoende målprocesser.'

Därför modifieras dessa celler i resultatmatrisen.

Varför inte justera alla resultat?

Behovet är störst i de låga resultat där beroendet mellan lagens beteende får störst relativ effekt.

När matchen redan nått exempelvis 3–2 är den enkla korrektionen mindre central än i ett målsnålt scenario.

Dixon–Coles är därför en relativt elegant kompromiss mellan enkelhet och bättre fotbollsanpassning.

Tidsviktning

En annan vanlig del är att nyare matcher får högre vikt än äldre.

Ett resultat från förra veckan kan säga mer om dagens lag än en match från nio månader sedan.

En tidsviktad modell kan därför låta observationernas betydelse minska gradvis med åldern.

Varför tidsviktning är logisk

Lag förändras genom:

• transfers,
• tränarbyten,
• skador,
• taktiska förändringar,
• generationsskiften.

Att ge en gammal match exakt samma vikt som en ny kan därför göra modellen långsam.

För aggressiv tidsviktning är också ett problem

Om nästan all vikt läggs på de fem senaste matcherna blir modellen extremt känslig för slump.

En 4–0-seger, ett rött kort eller en ovanlig skadesituation kan då påverka lagstyrkan för mycket.

Tidsparametern måste därför kalibreras.

Resultatmatrisen

När lagens förväntade mål är uppskattade byggs en matris med sannolikheter för:

• 0–0,
• 1–0,
• 0–1,
• 1–1,
• 2–0,
• 2–1,
• och så vidare.

Dixon–Coles-korrektionen appliceras sedan på de relevanta låga resultaten.

Från matris till 1X2

Precis som i vanlig Poisson summeras:

• alla hemmavinster,
• alla oavgjorda,
• alla bortavinster.

Det ger modellens sannolikheter för 1X2.

Dessa kan omvandlas till fair odds genom 1 / sannolikhet.

Över/under

Resultatmatrisen kan även användas för målmarknader.

Under 2,5 består av alla resultat med högst två mål totalt.

Över 2,5 är resten av sannolikhetsmassan.

Eftersom Dixon–Coles förändrar vissa låga resultat kan även totalsannolikheterna påverkas något jämfört med vanlig Poisson.

BTTS

Båda lagen gör mål kan också härledas från matrisen.

Alla resultat där båda lagen har minst ett mål summeras.

Justeringen av 1–1 kan därför få direkt betydelse för BTTS-sannolikheten.

Hur skattas parametrarna?

I stället för att bara använda enkla snitt skattas lagens styrkor ofta genom maximum likelihood.

Modellen söker de parametrar som gör de observerade matchresultaten mest sannolika givet modellen.

Det är statistiskt mer systematiskt än att bara sätta attackstyrka från råa målsnitt.

Identifikationsproblem

När många lagparametrar skattas samtidigt behövs normalt en begränsning eller normalisering.

Annars kan flera olika parameterkombinationer ge samma relativa modell.

Detta är en teknisk detalj, men viktig vid faktisk implementation.

Hur många matcher behövs?

Det finns inget magiskt antal.

För få matcher ger instabila lagstyrkor. För många gamla matcher kan göra modellen trög.

En praktisk implementation behöver därför testa:

• tidsfönster,
• tidsviktning,
• ligaspecifika parametrar,
• hur nykomlingar hanteras.

Nykomlingar

Ett uppflyttat lag saknar historik från den nya ligan.

Modellen behöver då initialvärden från exempelvis:

• andradivisionen,
• marknadsodds,
• en regressionsprior,
• övergångsjustering mellan ligornas nivåer.

Annars blir de första matcherna mycket svårmodellade.

xG i stället för målresultat

Den klassiska modellen utvecklades kring matchresultat, men moderna varianter kan använda xG eller andra prestationsmått för att uppskatta lagstyrka.

Det kan minska påverkan från tillfällig avslutseffektivitet.

Samtidigt förändras då modellen och behöver kalibreras mot den datakälla som används.

Dixon–Coles är fortfarande en förenkling

Modellen känner inte automatiskt till:

• kvällens startelva,
• skador,
• rött kort som ännu inte hänt,
• väder,
• motivation,
• extremt matchschema.

Den är en strukturerad basmodell, inte en komplett matchanalys.

Jämför med marknaden

När modellen producerat sannolikheter kan de jämföras med marknadens marginaljusterade odds.

Om modellen säger 52 % och marknaden efter borttagen marginal säger 48 % finns en skillnad att undersöka.

Men modellen kan sakna information som marknaden redan har.

Utvärdering

Bra utvärdering bör inte bara fråga hur många matcher modellen 'tippade rätt'.

Bättre mått är exempelvis:

• log loss,
• Brier score,
• kalibrering,
• out-of-sample-resultat,
• jämförelse med closing line.

En sannolikhetsmodell ska bedömas som sannolikhetsmodell.

Poisson eller Dixon–Coles?

Vanlig Poisson är enklare att förstå och implementera.

Dixon–Coles är mer fotbollsspecifik och hanterar vissa låga resultat bättre.

För pedagogik och en första modell är Poisson ofta tillräcklig. För seriös fotbollsmodellering är Dixon–Coles ett naturligt nästa steg.

Vanliga misstag

Att tro att Dixon–Coles löser alla Poissonproblem

Nej. Det är en begränsad korrektion.

Att överanpassa tidsvikten

För mycket fokus på senaste resultaten skapar brus.

Att ignorera nykomlingar

De saknar jämförbar ligahistorik.

Att använda modellens sannolikhet som fakta

Den är fortfarande en uppskattning.

Sammanfattning

Dixon–Coles behåller Poisson som bas men justerar sannolikheten för vissa låga resultat och används ofta tillsammans med tidsviktade lagstyrkor.

Det gör modellen bättre anpassad till fotboll utan att den blir extremt komplex.

Spela bara för pengar du har råd att förlora. Dixon–Coles, Poisson och andra statistiska modeller kan aldrig garantera vinst.