Kelly-kriteriet i betting – formel, exempel och risker

Kelly-kriteriet är en matematisk formel som beräknar hur stor andel av ett kapital som teoretiskt kan riskeras när du tror att ett odds är högre än den verkliga sannolikheten motiverar.

Formeln är inte en metod som garanterar vinst. Den är extremt känslig för fel i sannolikhetsbedömningen. Om du överskattar din fördel kan Kelly rekommendera en insats som är alldeles för stor och skapa kraftiga förluster.

Den här guiden förklarar matematiken. Den är inte en uppmaning att spela.

Kelly-formeln

För ett spel med två utfall utan push kan Kelly skrivas:

*f = (b × p − q) / b**

Där:

• f* = teoretisk andel av bankrullen,
• b = nettovinsten per satsad enhet,
• p = din uppskattade sannolikhet att vinna,
• q = sannolikheten att förlora, alltså 1 − p.

Med decimalodds räknas:

b = decimalodds − 1

Exempel: odds 2,20 och 50 procents sannolikhet

Anta:

• decimalodds: 2,20,
• uppskattad vinstsannolikhet: 50 %,
• förlustsannolikhet: 50 %.

Först nettoddset:

2,20 − 1 = 1,20

Sedan formeln:

(1,20 × 0,50 − 0,50) / 1,20

= (0,60 − 0,50) / 1,20

= 0,10 / 1,20

= 0,0833

Full Kelly blir alltså 8,33 procent av bankrullen.

Det är ett matematiskt resultat, inte ett råd om att faktiskt riskera 8,33 procent. Full Kelly kan ge stora svängningar även när modellen är korrekt.

Exempel med en bankrulle på 10 000 kronor

Om den separata spelbudgeten är 10 000 kronor och Kelly-värdet är 8,33 procent blir den matematiska insatsen:

10 000 × 0,0833 ≈ 833 kronor.

Men resultatet bygger helt på att 50-procentsbedömningen är korrekt.

Om den verkliga sannolikheten bara är 44 procent är oddset 2,20 inte längre lika attraktivt. Den beräknade insatsen byggde då på en överskattad fördel.

En alternativ formel med decimalodds

Kelly kan även skrivas direkt med decimalodds O:

*f = (O × p − 1) / (O − 1)**

För odds 2,20 och p = 0,50:

(2,20 × 0,50 − 1) / 1,20

= (1,10 − 1) / 1,20

= 0,10 / 1,20

= 8,33 %.

Båda formerna ger samma resultat.

När blir Kelly positivt?

Kelly blir positivt när din uppskattade sannolikhet är högre än oddsets break-even-sannolikhet.

Break-even räknas:

1 / decimalodds

För odds 2,20:

1 / 2,20 = 45,45 %

Om du bedömer sannolikheten till 50 procent ligger din uppskattning 4,55 procentenheter över break-even.

Det är den upplevda fördelen som skapar ett positivt Kelly-värde.

Negativ Kelly betyder ingen positiv insats

Anta:

• odds 2,00,
• uppskattad sannolikhet 45 %,
• q = 55 %,
• b = 1,00.

Kelly:

(1,00 × 0,45 − 0,55) / 1,00

= −0,10

Ett negativt värde betyder att modellen inte ser någon positiv matematisk insats på det utfallet.

Det negativa talet ska inte omvandlas till en ”minusinsats”. I ett vanligt spel med fasta odds betyder det i praktiken noll enligt Kelly-modellen.

Exempel: odds 1,80 och 60 procents sannolikhet

Anta:

• odds 1,80,
• p = 0,60,
• q = 0,40,
• b = 0,80.

Kelly:

(0,80 × 0,60 − 0,40) / 0,80

= (0,48 − 0,40) / 0,80

= 0,08 / 0,80

= 10 %.

Oddset kräver 55,56 procent för break-even. Din uppskattning är 60 procent.

Även här kan tio procent vara en mycket aggressiv risknivå i verkligheten.

Varför full Kelly kan vara farligt

Kelly maximerar den teoretiska långsiktiga logaritmiska tillväxten när:

• sannolikheterna är korrekta,
• oddsen är kända,
• utfallen följer modellens antaganden,
• kapitalet uppdateras korrekt,
• insatserna kan delas exakt,
• inga praktiska kostnader eller begränsningar stör.

I verkligheten vet du nästan aldrig den sanna sannolikheten.

Det betyder att full Kelly kan överreagera på en osäker uppskattning.

Sannolikhetsfelet är den största risken

Formeln är enkel. Den svåra delen är p.

Anta odds 2,20.

Några procentenheters skillnad i bedömningen förändrar insatsen kraftigt.

Om modellen säger 55 procent men den verkliga sannolikheten är 47 procent blir Kelly-insatsen mycket större än den borde vara.

Halv Kelly

För att minska svängningarna används ofta fractional Kelly.

Halv Kelly är:

0,5 × full Kelly

Om full Kelly är 8,33 procent blir halv Kelly:

8,33 × 0,5 = 4,17 %.

Det minskar den teoretiska tillväxttakten men också risken och känsligheten för modellfel.

Kvarts Kelly

Kvarts Kelly är:

0,25 × full Kelly

Vid full Kelly 8,33 procent:

8,33 × 0,25 = 2,08 %.

Fractional Kelly används ofta för att erkänna att sannolikhetsmodellen är osäker.

Det gör inte ett dåligt spel bra. Om p är fel eller den verkliga fördelen saknas kan även en liten Kelly-fraktion vara negativ på lång sikt.

Jämförelse mellan full, halv och kvarts Kelly

Anta att full Kelly är 12 procent och bankrullen 10 000 kronor.

Tabellen illustrerar bara skalningen. Den säger inte att någon av nivåerna är lämplig för en viss person.

Kelly och bankrullen

Kelly räknar en procentandel av det aktuella kapitalet.

Efter en vinst ökar den nominella insatsen om samma fördel och odds återkommer. Efter en förlust minskar den.

Exempel:

• bankrulle före spel: 10 000 kr,
• Kellyandel: 4 %,
• insats: 400 kr.

Om bankrullen senare är 8 000 kr:

8 000 × 4 % = 320 kr.

Metoden bygger alltså på att kapitalet uppdateras löpande.

Bankrulle får inte vara vardagsekonomi

En matematisk bankrulle ska aldrig bestå av pengar som behövs till:

• hyra eller bolån,
• mat,
• räkningar,
• lån och krediter,
• sparande,
• familjens utgifter,
• oförutsedda kostnader.

Om en förlust påverkar vardagsekonomin är budgeten inte en separat underhållningsbudget.

Lån och kredit hör inte hemma i modellen

Kelly förutsätter ett eget kapital som kan minska.

Lån eller kredit skapar:

• återbetalningskrav,
• ränta,
• extra stress,
• risk att försöka jaga tillbaka förluster.

Matematiken tar inte automatiskt hänsyn till skuldens kostnad eller den personliga skadan av en förlust.

Spela aldrig med lånade pengar.

Drawdown – stora nedgångar kan inträffa

Även en modell med verkligt positiv fördel kan få långa förlustperioder.

En drawdown är nedgången från en tidigare topp i bankrullen.

Exempel:

• högsta saldo: 20 000 kr,
• nuvarande saldo: 14 000 kr,
• drawdown: 6 000 kr eller 30 %.

Full Kelly är känt för att kunna ge kraftiga drawdowns. Det kan vara matematiskt förenligt med modellen men psykiskt och ekonomiskt svårt att hantera.

Förlustsviter är normala

Ett utfall med 55 procents sannolikhet förlorar fortfarande 45 procent av gångerna.

Flera förluster i rad är därför möjliga även om sannolikhetsbedömningen är korrekt.

Kelly tar inte bort varians. Det bestämmer bara en teoretisk insatsandel utifrån uppskattad fördel.

Hög Kelly betyder inte säkerhet

Ett högt Kelly-värde kan bero på:

• verklig stor fördel,
• ett mycket högt odds,
• en överoptimistisk sannolikhetsmodell,
• inmatningsfel,
• att marknaden eller villkoren har lästs fel.

När formeln ger en ovanligt stor andel är det ett skäl att granska antagandena, inte ett bevis på en säker möjlighet.

Fel odds ger fel insats

Kelly ska räknas på det odds som faktiskt kan spelas.

Om modellen byggdes på odds 2,20 men priset har sjunkit till 1,95 måste beräkningen göras om.

Anta p = 50 %:

Vid 2,20

Full Kelly = 8,33 %.

Vid 1,95

b = 0,95

(0,95 × 0,50 − 0,50) / 0,95

= negativt värde.

Samma sannolikhet kan alltså ge positiv Kelly vid ett odds och noll vid ett annat.

Överrund och fair probabilities

Spelbolagets råa odds innehåller normalt marginal.

Om du utgår från marknadens egna implicita sannolikheter behöver marginalen räknas bort innan du använder dem som ett försök till fair probabilities.

Men en normaliserad marknadssannolikhet är fortfarande marknadens bedömning, inte automatiskt din egen statistiska fördel.

Om p bara hämtas direkt från samma oddsmarknad finns normalt ingen anledning att Kelly ska hitta en positiv insats efter korrekt marginaljustering.

Push och återbetalning

Den enkla Kelly-formeln ovan gäller ett binärt spel med vinst eller förlust.

Marknader med:

• push,
• halv vinst,
• halv förlust,
• flera möjliga utbetalningar

kräver en mer avancerad beräkning där varje utfall får sin sannolikhet och sitt nettoresultat.

Exempel är:

• Asian handicap,
• asiatiska totals,
• Draw No Bet,
• dead heat,
• reducerad utbetalning.

Det är missvisande att pressa in sådana marknader i en ren tvåutfallsformel utan justering.

Flera samtidiga spel

Om flera spel är oberoende kan de i teorin beräknas var för sig. I praktiken är många spel korrelerade.

Exempel på korrelation:

• hemmalaget vinner,
• hemmalaget över 1,5 mål,
• över 2,5 mål,
• båda lagen gör mål,
• samma lag vinner ligan.

Om alla insatser behandlas som oberoende kan den verkliga samlade risken bli mycket större än den ser ut.

Korrelation mellan matcher

Även olika matcher kan vara kopplade genom:

• samma lag,
• samma spelare,
• väder,
• turneringsläge,
• gemensam marknadsinformation,
• samma modellfel.

En modell som systematiskt överskattar en liga kan ge flera positiva Kelly-värden som alla bygger på samma felaktiga antagande.

Kelly för kombinationsspel

Kombinationsspel har högre odds men kräver att alla delar vinner.

Den korrekta sannolikheten är inte alltid produkten av delarnas sannolikheter eftersom utfallen kan vara beroende.

Ett litet fel i varje del kan bli ett stort fel i den sammanlagda sannolikheten.

Det gör Kelly särskilt osäkert för ackumulatorer och korrelerade kombinationer.

Begränsningar och avrundning

I verkligheten kan:

• minsta insats finnas,
• högsta insats begränsas,
• oddset ändras med insatsstorleken,
• spelbolaget neka eller sänka insatsen,
• marknaden stänga,
• provision eller skatt påverka nettot.

Kelly-resultatet kan därför inte alltid genomföras exakt.

Odds från börser

På en spelbörs måste provision räknas in i den faktiska nettovinsten.

Om decimaloddset ser ut att vara 2,20 men en provision dras från vinsten är b lägre än 1,20.

Att ignorera provisionen överskattar den teoretiska fördelen och Kellyandelen.

Modellkalibrering

En sannolikhetsmodell bör utvärderas på fler sätt än vinst eller förlust.

Viktiga frågor är:

• När modellen säger 60 procent, vinner utfallet ungefär 60 procent över många observationer?
• Är modellen lika väl kalibrerad i olika oddsintervall?
• Har den testats på data som inte användes för att bygga modellen?
• Överlever resultatet efter marginal, limits och praktiska kostnader?
• Har modellen jämförts med slutmarknaden?

En okalibrerad modell gör Kelly farligt.

Överanpassning

En modell kan se fantastisk ut på historiska data eftersom den har anpassats till slumpen i just det urvalet.

Det kallas överanpassning.

När modellen används framåt kan den verkliga träffsäkerheten vara mycket lägre.

Kelly förstärker problemet eftersom en överskattad fördel leder till större insatser.

Små datamängder

En modell som bygger på 20 eller 50 matcher ger ofta mycket osäkra sannolikheter.

Även flera hundra observationer kan vara för lite om:

• oddsen är höga,
• sporterna skiljer sig,
• modellen har många parametrar,
• marknaden förändras,
• resultaten är starkt korrelerade.

Decimalprecision som 54,37 procent betyder inte att modellen verkligen är exakt på hundradelen.

Kelly och expected value

Kelly och EV är relaterade men svarar på olika frågor.

Expected value

Beskriver det teoretiska värdet per satsad enhet.

Kelly

Beräknar en teoretisk kapitalandel utifrån fördelen och oddset.

Två spel kan ha liknande EV men olika Kellyandel eftersom utbetalningsprofilen och sannolikheten skiljer sig.

Exempel med samma ungefärliga EV

Spel A

• odds 2,00,
• p = 53 %.

EV:

2,00 × 0,53 − 1 = +6 %.

Kelly:

(1 × 0,53 − 0,47) / 1 = 6 %.

Spel B

• odds 4,00,
• p = 26,5 %.

EV:

4,00 × 0,265 − 1 = +6 %.

b = 3

Kelly:

(3 × 0,265 − 0,735) / 3

= 0,06 / 3

= 2 %.

Samma teoretiska EV ger olika Kellyandel eftersom Spel B vinner mer sällan och har större varians.

Kelly skyddar inte mot ett totalt modellfel

Kelly minskar insatsen när den uppskattade fördelen är liten. Men om modellen konsekvent har fel kan varje positiv beräkning vara missvisande.

Formeln känner inte till:

• skador som saknas i datan,
• fel startelva,
• marknadsregler som misstolkats,
• felaktiga historiska resultat,
• en förändring i ligans spelstil,
• dataläckage i modellen.

”Matematiskt beräknad” betyder därför inte ”sann”.

En fast låg gräns är en separat riskregel

Vissa kombinerar fractional Kelly med ett absolut tak, exempelvis att aldrig riskera mer än en liten bestämd andel av en separat budget.

Det är inte längre ren Kelly. Det är en extra riskregel som begränsar modellens förslag.

Ett tak kan minska skadan av extrema eller felaktiga indata, men kan inte göra ett spel lönsamt.

Kelly och känslor

En formel hjälper inte om den ändras efter varje resultat.

Vanliga beteendefel är:

• höja p efter en vinstsvit,
• sänka kraven efter en förlust,
• öka insatsen för att vinna tillbaka pengar,
• räkna om bankrullen med kredit,
• ignorera negativa Kelly-värden när ett spel känns lockande.

Förlustjakt bryter helt mot den långsiktiga logiken.

Kontrollista före en beräkning

1. Är oddset fortfarande tillgängligt?
2. Gäller spelet exakt den marknad som modellen bedömer?
3. Är p testad och kalibrerad?
4. Har marginal, provision och push hanterats?
5. Är spelen korrelerade?
6. Är budgeten helt separat från vardagsekonomin?
7. Skulle hela budgeten kunna förloras utan ekonomisk skada?
8. Är du beredd att avstå när Kelly är negativt?

Ett nej på någon central fråga gör resultatet mindre tillförlitligt.

Vanliga misstag

Att använda marknadsoddsets råa sannolikhet som p

Då finns normalt ingen egen fördel efter marginal.

Att glömma att b är nettoddset

Vid decimalodds 2,20 är b 1,20, inte 2,20.

Att skriva 50 i stället för 0,50

Sannolikheten ska anges i decimalform.

Att använda full Kelly trots stor osäkerhet

Full Kelly är känsligt för modellfel och kan ge stora drawdowns.

Att räkna varje spel som oberoende

Korrelation kan göra den samlade risken mycket högre.

Att använda ursprunglig bankrulle efter förlust

Kellyandelen ska räknas på aktuellt kapital i den matematiska modellen.

Att tolka högt Kellyvärde som en garanti

Ett högt värde kan bero på en felaktig sannolikhet.

Enkel Kelly-kalkyl steg för steg

Anta:

• odds: 2,50,
• uppskattad sannolikhet: 45 %.

1. Nettodds

b = 2,50 − 1 = 1,50.

2. Förlustsannolikhet

q = 1 − 0,45 = 0,55.

3. Sätt in i formeln

(1,50 × 0,45 − 0,55) / 1,50

= (0,675 − 0,55) / 1,50

= 0,125 / 1,50

= 8,33 %.

4. Fractional Kelly

• halv Kelly: 4,17 %,
• kvarts Kelly: 2,08 %.

Beräkningen är bara giltig i den utsträckning 45-procentsbedömningen är välgrundad.

Ansvarsfullt spel

Spel om pengar är endast för personer som har fyllt 18 år i Sverige. Matematiska modeller, Kelly-kriteriet och historisk statistik kan aldrig garantera vinst.

Sätt alltid en fast, separat underhållningsbudget och spela aldrig med pengar avsedda för boende, mat, räkningar eller skulder. Använd inte lån eller kredit. Försök inte vinna tillbaka förluster genom större insatser.

Den som vill stoppa sitt spelande kan använda Spelpaus, det nationella självavstängningsregistret för licensierat spel som kräver registrering. En avstängning kan inte avslutas i förtid.

Sammanfattning

Kelly-kriteriet räknar en teoretisk kapitalandel:

*f = (b × p − q) / b**

Där b är decimaloddset minus ett, p är uppskattad vinstsannolikhet och q är förlustsannolikhet.

Det viktigaste att förstå är:

• ett negativt Kellyvärde innebär noll positiv insats i modellen,
• full Kelly kan ge mycket stora svängningar,
• halv eller kvarts Kelly minskar men tar inte bort risken,
• sannolikhetsfel är den största svagheten,
• korrelation, push, provision och limits kräver justering,
• modellen är aldrig en vinstgaranti.

Kelly är därför främst ett analysverktyg för sambandet mellan sannolikhet, odds och risk – inte ett bevis på att ett spel bör genomföras.