Poissonmodell för fotboll – så beräknas mål och matchresultat

En Poissonmodell är ett av de enklaste sätten att uppskatta hur många mål ett fotbollslag kan göra i en match. Modellen använder ett förväntat målantal, ofta kallat lambda (λ), och räknar sannolikheten för 0, 1, 2, 3 och fler mål.

Den är pedagogisk och användbar som basmodell, men fotbollsmål är inte helt oberoende och jämnt fördelade. Därför ska en enkel Poissonmodell ses som utgångspunkt, inte som facit.

Poissonformeln

Sannolikheten för exakt k mål skrivs:

P(X = k) = e^-λ × λ^k / k!

Där:

• λ = förväntat antal mål,
• k = antal mål vi vill beräkna,
• e ≈ 2,71828,
• k! = fakultet.

Exempel: ett lag förväntas göra 1,50 mål

Sätt λ = 1,50.

Sannolikheten för noll mål blir ungefär:

P(0) = e^-1,5 ≈ 22,3 %.

För ett mål:

P(1) = e^-1,5 × 1,5 ≈ 33,5 %.

För två mål:

P(2) = e^-1,5 × 1,5² / 2 ≈ 25,1 %.

För tre mål:

P(3) ≈ 12,6 %.

Resten ligger på fyra eller fler mål.

Två lag behöver var sitt lambda

För en match behöver vi normalt två målförväntningar.

Exempel:

• Hemmalag λ = 1,60
• Bortalag λ = 1,10

Då beräknas respektive lags sannolikhet för 0, 1, 2, 3 osv mål separat.

Därefter kombineras sannolikheterna till en resultatmatris.

Resultatmatris

För att få sannolikheten för 1–0 multipliceras:

P(hemma gör 1) × P(borta gör 0).

För 2–1:

P(hemma gör 2) × P(borta gör 1).

Genom att göra detta för exempelvis 0–0 till 6–6 får man en matris med sannolikheter för varje resultat.

Från resultat till 1X2

När resultatmatrisen är klar kan alla rutor summeras.

Hemmaseger

Alla resultat där hemmalagets mål > bortalagets mål.

Oavgjort

0–0, 1–1, 2–2, 3–3 osv.

Bortaseger

Alla resultat där bortalagets mål > hemmalagets mål.

Summorna ger modellens 1X2-sannolikheter.

Från sannolikhet till fair odds

Om modellen ger:

• Hemma 48 %
• Oavgjort 27 %
• Borta 25 %

blir teoretiska fair odds:

• Hemma: 1 / 0,48 ≈ 2,08
• X: 1 / 0,27 ≈ 3,70
• Borta: 1 / 0,25 = 4,00

Det är marginalfria modellpriser.

Över/under från samma matris

Poissonmatrisen kan även användas för totals.

För under 2,5 mål summeras alla resultat med totalt 0, 1 eller 2 mål.

Exempel:

• 0–0
• 1–0
• 0–1
• 1–1
• 2–0
• 0–2

Över 2,5 är sedan 1 minus sannolikheten för under 2,5.

BTTS från Poisson

Båda lagen gör mål – Ja kräver minst ett mål från båda.

Ett snabbt sätt är:

1 − P(hemma 0) − P(borta 0) + P(0–0).

Plus-termen för 0–0 behövs eftersom den annars dras bort två gånger.

Hur bestäms lambda?

Det är modellens viktigaste steg.

En mycket enkel version kan använda:

• hemmalagets genomsnittliga hemmamål,
• bortalagets genomsnittliga bortamål,
• ligans genomsnitt,
• offensiv och defensiv styrka.

Mer avancerade modeller använder xG, motståndskvalitet, tidsviktning och hemmafördel.

Enkel styrkemodell

Anta att ligan i snitt har 1,50 hemmamål per lag och match.

Om hemmalaget gör 1,80 hemma i snitt kan offensiv styrka uppskattas som:

1,80 / 1,50 = 1,20.

Om motståndaren släpper in 1,65 borta jämfört med ligans bortaförsvarssnitt kan ytterligare en defensiv faktor skapas.

Faktorerna kombineras sedan med ligans basnivå för att få λ.

Varför råa målsnitt kan vara farliga

Ett lag kan ha gjort många mål på grund av:

• ovanligt hög avslutseffektivitet,
• svagt motstånd,
• röda kort,
• straffar,
• få matcher.

Därför kan xG eller skottdata ibland ge ett stabilare underlag än enbart faktiska mål.

Oberoendeantagandet är en begränsning

Den enkla modellen behandlar lagens mål som oberoende.

Men matchbilden förändras efter mål.

Om ett lag tar ledningen kan det:

• försvara djupare,
• ge motståndaren mer boll,
• skapa fler kontringar,
• minska eller öka matchtempot.

Det gör att målprocesserna i verkligheten påverkar varandra.

Låga resultat kan behöva korrigering

Standard-Poisson kan ibland värdera 0–0, 1–0, 0–1 och 1–1 mindre träffsäkert.

En välkänd vidareutveckling är Dixon–Coles, som lägger en korrektion på vissa låga resultat och dessutom ofta viktar nyare matcher högre.

Det är ett naturligt nästa steg efter en grundmodell.

Röda kort finns inte i förmatchmodellen

En prematch-Poisson känner inte till framtida röda kort, skador eller taktiska förändringar under matchen.

Live-modeller måste därför uppdatera lambda när matchens tillstånd förändras.

Matchtid spelar roll live

Om en match är 0–0 efter 70 minuter kan man inte använda samma λ som före avspark för återstående 20 minuter.

En live-modell måste skala ned återstående målvolym och samtidigt justera för ställning och matchbild.

Kalibrering

En modell ska inte bara bedömas på vinst eller förlust.

Om den säger 60 % på 100 liknande utfall bör ungefär 60 inträffa över ett stort, relevant urval.

Kalibrering kan mätas med exempelvis Brier score eller log loss.

Jämför med marknaden

Efter att modellen producerat sannolikheter kan de jämföras med marginaljusterade marknadsodds.

Om marknaden efter borttagen marginal säger 45 % hemmaseger och modellen 50 % finns en skillnad att undersöka.

Det betyder inte automatiskt att modellen har rätt. Marknaden kan innehålla information modellen saknar.

Vanliga misstag

Att använda för få matcher

Fem matcher ger mycket brus.

Att väga gamla matcher lika tungt

Lag förändras genom tränarbyten, skador och transfers.

Att ignorera hemma/borta

Målprofilen kan skilja kraftigt.

Att använda faktiska mål utan regression

Extrem effektivitet tenderar ofta att röra sig mot mer normala nivåer.

Att tro att λ är exakt

1,63 är en modelluppskattning, inte en känd framtida målproduktion.

Sammanfattning

Poissonmodellen omvandlar ett förväntat målantal till sannolikheter för exakta mål och resultat. Två lag-lambda kan byggas till en resultatmatris som sedan ger 1X2, över/under och BTTS.

Den stora utmaningen är inte själva Poissonformeln utan att uppskatta λ på ett robust sätt och hantera modellens antaganden.

Spela bara för pengar du har råd att förlora. Poisson, xG och andra modeller kan aldrig garantera resultat.

Läs också

• Dixon–Coles som vidareutveckling av Poisson för låga fotbollsresultat
• Monte Carlo-simulering när många osäkra variabler ska kombineras
• grundguiden till 1X2, dubbelchans och Draw No Bet